Calculando a Covariância: Um Guia Completo

O que é Covariância?

Em estatística, a covariância é uma medida que indica o grau de variação conjunta entre duas variáveis aleatórias. Em outras palavras, ela nos mostra se duas variáveis tendem a aumentar ou diminuir juntas.

• Covariância positiva: Indica que quando uma variável aumenta, a outra também tende a aumentar, e vice-versa.
• Covariância negativa: Indica que quando uma variável aumenta, a outra tende a diminuir, e vice-versa.
• Covariância próxima de zero: Indica que não há uma relação linear forte entre as variáveis.

Fórmula da Covariância:

A fórmula para calcular a covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é dada por:

cov(X, Y) = Σ[(Xi - X̄)(Yi - Ȳ)] / (n - 1)

Onde:

• Xi: Valor individual da variável X
• Yi: Valor individual da variável Y
• X̄: Média da variável X
• Ȳ: Média da variável Y
• n: Número de observações

Passo a passo para calcular a covariância:

1. Calcule as médias: Calcule a média aritmética (X̄) dos valores de X e a média aritmética (Ȳ) dos valores de Y.
2. Calcule os desvios: Para cada par de valores (Xi, Yi), calcule o desvio em relação à média (Xi – X̄) para X e (Yi – Ȳ) para Y.
3. Multiplique os desvios: Multiplique os desvios calculados no passo 2 para cada par de observações.
4. Some os produtos: Some todos os produtos obtidos no passo 3.
5. Divida pela quantidade de observações menos 1: Divida o resultado obtido no passo 4 por (n – 1).

Exemplo:

Calculando a covariância:

1. Médias: X̄ = (2 + 4 + 6) / 3 = 4; Ȳ = (4 + 5 + 7) / 3 = 5.33
2. Desvios e produtos: | Xi – X̄ | Yi – Ȳ | (Xi – X̄)(Yi – Ȳ) | |—|—|—| | -2 | -1.33 | 2.66 | | 0 | -0.33 | 0 | | 2 | 1.67 | 3.34 |
3. Soma dos produtos: 2.66 + 0 + 3.34 = 6
4. Divisão: 6 / (3 – 1) = 3

Portanto, a covariância entre X e Y é 3.

Interpretação:

Como a covariância é positiva, podemos concluir que as variáveis X e Y tendem a aumentar juntas. Ou seja, quando X aumenta, Y também tende a aumentar.

Observações:

• A covariância não possui uma escala definida, o que dificulta a comparação entre diferentes conjuntos de dados.
• A covariância é sensível à escala das variáveis. Para comparar a força da relação entre diferentes pares de variáveis, é comum utilizar o coeficiente de correlação.

Quando usar a covariância:

• Análise de dados: Para identificar se duas variáveis estão relacionadas linearmente.
• Modelagem estatística: Como entrada para modelos de regressão linear.
• Finanças: Para analisar a relação entre diferentes ativos financeiros.