Gerador de Progressão Geométrica PG

Gerador de Progressão Geométrica

Gerador de Progressão Geométrica (PG)

 

Progressão Geométrica (PG): Conceito e Cálculos

Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.

Características Principais

  1. Primeiro Termo (a1): O primeiro número da sequência.
  2. Razão (q): O fator constante pelo qual cada termo é multiplicado para obter o próximo termo.
  3. N-ésimo Termo (an): O termo que está na posição n da sequência.
  4. Número de Termos (n): A quantidade total de termos na sequência.

Fórmulas Importantes

  1. Fórmula do N-ésimo Termo: O n-ésimo termo de uma PG pode ser encontrado usando:

    an = a1 * q^(n – 1)

    Onde:

    • an é o n-ésimo termo.
    • a1 é o primeiro termo.
    • q é a razão.
    • n é a posição do termo.
  2. Fórmula da Soma dos N Primeiros Termos: A soma dos primeiros n termos de uma PG pode ser calculada usando:

    Sn = a1 * (1 – q^n) / (1 – q), para q ≠ 1

    Ou, se a razão for 1 (ou seja, todos os termos são iguais), a fórmula é:

    Sn = n * a1

    Onde:

    • Sn é a soma dos primeiros n termos.
    • a1 é o primeiro termo.
    • q é a razão.
    • n é o número de termos.

Exemplo Prático

Vamos considerar uma PG onde o primeiro termo é 2 e a razão é 3. Queremos calcular o 5º termo e a soma dos primeiros 5 termos.

  1. Encontrar o 5º Termo:
    • Primeiro termo (a1) = 2
    • Razão (q) = 3
    • Número do termo (n) = 5
    • Fórmula: an = a1 * q^(n – 1)
    • an = 2 * 3^(5 – 1)
    • an = 2 * 3^4
    • an = 2 * 81
    • an = 162

    Portanto, o 5º termo é 162.

  2. Calcular a Soma dos Primeiros 5 Termos:
    • Primeiro termo (a1) = 2
    • Razão (q) = 3
    • Número de termos (n) = 5
    • Fórmula: Sn = a1 * (1 – q^n) / (1 – q)
    • Sn = 2 * (1 – 3^5) / (1 – 3)
    • Sn = 2 * (1 – 243) / (-2)
    • Sn = 2 * (-242) / (-2)
    • Sn = 2 * 121
    • Sn = 242

    Portanto, a soma dos primeiros 5 termos é 242.

Aplicações da Progressão Geométrica

      1. Finanças: Cálculo de juros compostos e crescimento exponencial de investimentos.
      2. Ciências: Modelagem de fenômenos que seguem crescimento ou decrescimento exponencial.
      3. Tecnologia: Análise de algoritmos e problemas relacionados ao crescimento exponencial.