Gerador de Progressão Aritmética (PA)
Progressão Aritmética (PA): Conceito e Cálculos
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é conhecida como a razão da PA.
Características Principais
- Primeiro Termo (a1): O primeiro número da sequência.
- Razão (d): A diferença constante entre termos consecutivos.
- N-ésimo Termo (an): O termo que está na posição n da sequência.
- Número de Termos (n): A quantidade total de termos na sequência.
Fórmulas Importantes
- Fórmula do N-ésimo Termo: O n-ésimo termo de uma PA pode ser encontrado usando:
an = a1 + (n – 1) * d
Onde:
- an é o n-ésimo termo.
- a1 é o primeiro termo.
- d é a razão.
- n é a posição do termo.
- Fórmula da Soma dos N Primeiros Termos: A soma dos primeiros n termos de uma PA pode ser calculada usando:
Sn = (n / 2) * (2a1 + (n – 1) * d)
Ou, se você conhece o último termo (an):
Sn = (n / 2) * (a1 + an)
Onde:
- Sn é a soma dos primeiros n termos.
- a1 é o primeiro termo.
- an é o último termo.
- d é a razão.
- n é o número de termos.
Exemplo Prático
Vamos considerar uma PA onde o primeiro termo é 5 e a razão é 3. Queremos calcular o 7º termo e a soma dos primeiros 7 termos.
- Encontrar o 7º Termo:
- Primeiro termo (a1) = 5
- Razão (d) = 3
- Número do termo (n) = 7
- Fórmula: an = a1 + (n – 1) * d
- an = 5 + (7 – 1) * 3
- an = 5 + 6 * 3
- an = 5 + 18
- an = 23
Portanto, o 7º termo é 23.
- Calcular a Soma dos Primeiros 7 Termos:
- Primeiro termo (a1) = 5
- Razão (d) = 3
- Número de termos (n) = 7
- Último termo (a7) = 23 (calculado acima)
- Fórmula: Sn = (n / 2) * (a1 + an)
- Sn = (7 / 2) * (5 + 23)
- Sn = (7 / 2) * 28
- Sn = 7 * 14
- Sn = 98
Portanto, a soma dos primeiros 7 termos é 98.
Aplicações da Progressão Aritmética
- Finanças: Calcular pagamentos periódicos, como prestações de empréstimos.
- Educação: Resolver problemas envolvendo séries numéricas e sequências.
- Planejamento: Determinar crescimento linear ou declínio de recursos ou valores.
Conclusão
A Progressão Aritmética é uma ferramenta fundamental em matemática e suas aplicações são amplas, desde cálculos financeiros até problemas educacionais. Compreender como encontrar termos individuais e calcular a soma dos termos ajuda na resolução de diversos problemas práticos e acadêmicos.