Gerador de Progressão Aritmética PA

Gerador de Progressão Aritmética

Gerador de Progressão Aritmética (PA)

 

Progressão Aritmética (PA): Conceito e Cálculos

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é conhecida como a razão da PA.

Características Principais

  1. Primeiro Termo (a1): O primeiro número da sequência.
  2. Razão (d): A diferença constante entre termos consecutivos.
  3. N-ésimo Termo (an): O termo que está na posição n da sequência.
  4. Número de Termos (n): A quantidade total de termos na sequência.

Fórmulas Importantes

  1. Fórmula do N-ésimo Termo: O n-ésimo termo de uma PA pode ser encontrado usando:

    an = a1 + (n – 1) * d

    Onde:

    • an é o n-ésimo termo.
    • a1 é o primeiro termo.
    • d é a razão.
    • n é a posição do termo.
  2. Fórmula da Soma dos N Primeiros Termos: A soma dos primeiros n termos de uma PA pode ser calculada usando:

    Sn = (n / 2) * (2a1 + (n – 1) * d)

    Ou, se você conhece o último termo (an):

    Sn = (n / 2) * (a1 + an)

    Onde:

    • Sn é a soma dos primeiros n termos.
    • a1 é o primeiro termo.
    • an é o último termo.
    • d é a razão.
    • n é o número de termos.

Exemplo Prático

Vamos considerar uma PA onde o primeiro termo é 5 e a razão é 3. Queremos calcular o 7º termo e a soma dos primeiros 7 termos.

  1. Encontrar o 7º Termo:
    • Primeiro termo (a1) = 5
    • Razão (d) = 3
    • Número do termo (n) = 7
    • Fórmula: an = a1 + (n – 1) * d
    • an = 5 + (7 – 1) * 3
    • an = 5 + 6 * 3
    • an = 5 + 18
    • an = 23

    Portanto, o 7º termo é 23.

  2. Calcular a Soma dos Primeiros 7 Termos:
    • Primeiro termo (a1) = 5
    • Razão (d) = 3
    • Número de termos (n) = 7
    • Último termo (a7) = 23 (calculado acima)
    • Fórmula: Sn = (n / 2) * (a1 + an)
    • Sn = (7 / 2) * (5 + 23)
    • Sn = (7 / 2) * 28
    • Sn = 7 * 14
    • Sn = 98

    Portanto, a soma dos primeiros 7 termos é 98.

Aplicações da Progressão Aritmética

  1. Finanças: Calcular pagamentos periódicos, como prestações de empréstimos.
  2. Educação: Resolver problemas envolvendo séries numéricas e sequências.
  3. Planejamento: Determinar crescimento linear ou declínio de recursos ou valores.

Conclusão

A Progressão Aritmética é uma ferramenta fundamental em matemática e suas aplicações são amplas, desde cálculos financeiros até problemas educacionais. Compreender como encontrar termos individuais e calcular a soma dos termos ajuda na resolução de diversos problemas práticos e acadêmicos.