Progressão Aritmética (PA): Conceito e Cálculos

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é conhecida como a razão da PA.

Características Principais

1. Primeiro Termo (a1): O primeiro número da sequência.
2. Razão (d): A diferença constante entre termos consecutivos.
3. N-ésimo Termo (an): O termo que está na posição n da sequência.
4. Número de Termos (n): A quantidade total de termos na sequência.

Fórmulas Importantes

1. Fórmula do N-ésimo Termo: O n-ésimo termo de uma PA pode ser encontrado usando:

   an = a1 + (n – 1) * d

   Onde:

   • an é o n-ésimo termo.
   • a1 é o primeiro termo.
   • d é a razão.
   • n é a posição do termo.
2. Fórmula da Soma dos N Primeiros Termos: A soma dos primeiros n termos de uma PA pode ser calculada usando:

   Sn = (n / 2) * (2a1 + (n – 1) * d)

   Ou, se você conhece o último termo (an):

   Sn = (n / 2) * (a1 + an)

   Onde:

   • Sn é a soma dos primeiros n termos.
   • a1 é o primeiro termo.
   • an é o último termo.
   • d é a razão.
   • n é o número de termos.

Exemplo Prático

Vamos considerar uma PA onde o primeiro termo é 5 e a razão é 3. Queremos calcular o 7º termo e a soma dos primeiros 7 termos.

1. Encontrar o 7º Termo:
   • Primeiro termo (a1) = 5
   • Razão (d) = 3
   • Número do termo (n) = 7
   • Fórmula: an = a1 + (n – 1) * d
   • an = 5 + (7 – 1) * 3
   • an = 5 + 6 * 3
   • an = 5 + 18
   • an = 23

   Portanto, o 7º termo é 23.

2. Calcular a Soma dos Primeiros 7 Termos:
   • Primeiro termo (a1) = 5
   • Razão (d) = 3
   • Número de termos (n) = 7
   • Último termo (a7) = 23 (calculado acima)
   • Fórmula: Sn = (n / 2) * (a1 + an)
   • Sn = (7 / 2) * (5 + 23)
   • Sn = (7 / 2) * 28
   • Sn = 7 * 14
   • Sn = 98

   Portanto, a soma dos primeiros 7 termos é 98.

Aplicações da Progressão Aritmética

1. Finanças: Calcular pagamentos periódicos, como prestações de empréstimos.
2. Educação: Resolver problemas envolvendo séries numéricas e sequências.
3. Planejamento: Determinar crescimento linear ou declínio de recursos ou valores.

Conclusão

A Progressão Aritmética é uma ferramenta fundamental em matemática e suas aplicações são amplas, desde cálculos financeiros até problemas educacionais. Compreender como encontrar termos individuais e calcular a soma dos termos ajuda na resolução de diversos problemas práticos e acadêmicos.