Gerador de Progressão Geométrica (PG)
Progressão Geométrica (PG): Conceito e Cálculos
Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.
Características Principais
- Primeiro Termo (a1): O primeiro número da sequência.
- Razão (q): O fator constante pelo qual cada termo é multiplicado para obter o próximo termo.
- N-ésimo Termo (an): O termo que está na posição n da sequência.
- Número de Termos (n): A quantidade total de termos na sequência.
Fórmulas Importantes
- Fórmula do N-ésimo Termo: O n-ésimo termo de uma PG pode ser encontrado usando:
an = a1 * q^(n – 1)
Onde:
- an é o n-ésimo termo.
- a1 é o primeiro termo.
- q é a razão.
- n é a posição do termo.
- Fórmula da Soma dos N Primeiros Termos: A soma dos primeiros n termos de uma PG pode ser calculada usando:
Sn = a1 * (1 – q^n) / (1 – q), para q ≠ 1
Ou, se a razão for 1 (ou seja, todos os termos são iguais), a fórmula é:
Sn = n * a1
Onde:
- Sn é a soma dos primeiros n termos.
- a1 é o primeiro termo.
- q é a razão.
- n é o número de termos.
Exemplo Prático
Vamos considerar uma PG onde o primeiro termo é 2 e a razão é 3. Queremos calcular o 5º termo e a soma dos primeiros 5 termos.
- Encontrar o 5º Termo:
- Primeiro termo (a1) = 2
- Razão (q) = 3
- Número do termo (n) = 5
- Fórmula: an = a1 * q^(n – 1)
- an = 2 * 3^(5 – 1)
- an = 2 * 3^4
- an = 2 * 81
- an = 162
Portanto, o 5º termo é 162.
- Calcular a Soma dos Primeiros 5 Termos:
- Primeiro termo (a1) = 2
- Razão (q) = 3
- Número de termos (n) = 5
- Fórmula: Sn = a1 * (1 – q^n) / (1 – q)
- Sn = 2 * (1 – 3^5) / (1 – 3)
- Sn = 2 * (1 – 243) / (-2)
- Sn = 2 * (-242) / (-2)
- Sn = 2 * 121
- Sn = 242
Portanto, a soma dos primeiros 5 termos é 242.
Aplicações da Progressão Geométrica
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- Finanças: Cálculo de juros compostos e crescimento exponencial de investimentos.
- Ciências: Modelagem de fenômenos que seguem crescimento ou decrescimento exponencial.
- Tecnologia: Análise de algoritmos e problemas relacionados ao crescimento exponencial.
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